jueves, 18 de noviembre de 2010

Unidad IV. Propiedad de las relaciones "asimetrica"


Asimetría
Asymmetric (PSF).png
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Asimetría se refiere a la propiedad de determinados cuerpos, funciones matemáticas y otros tipos de elementos en los que, al aplicarles una regla de transformación efectiva, se observan cambios respecto al elemento original. Surge una discordia cuando no somos capaces de reconocer qué parte es la original de la asimetría.
Además de la posición y la dispersión de un conjunto de datos, es común usar medidas de forma en su descripción. Una de estas medidas es una estadística que busca expresar la simetría (o falta de ella) que manifiestan los datos, denominada coeficiente de asimetría.
La diferencia de una observación respecto del promedio de los datos se encuentra elevada al cubo. Esto tiene como resultado que, observaciones alejadas del promedio, aportan un gran valor a la suma; ya sea positivo o negativo. En consecuencia, si los grandes valores de la diferencia están producidos por datos mayores que el promedio, el coeficiente tenderá a ser positivo. Si, por el contrario, predominan observaciones muy menores que el promedio, el coeficiente será negativo. Si, finalmente, las observaciones presentan un alto grado de simetría respecto al promedio, el coeficiente asumirá valores cercanos a cero o a un infinito que este correlacionado con el número de la varianza o el intervalo de clase.
Si el valor de este coeficiente es mayor que la varianza entonces se dice que la distribución de los datos se encuentra sesgada a la derecha o a la izquierda, si es menor que el intervalo de clase entonces se dice que está sesgada a la posición anterior.

Definición

Las medidas de asimetría son indicadores que permiten establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una distribución de probabilidad de una variable aleatoria sin tener que hacer su representación gráfica.
Como eje de simetría consideramos una recta paralela al eje de ordenadas que pasa por la media de la distribución. Si una distribución es simétrica, existe el mismo número de valores a la derecha que a la izquierda de la media, por tanto, el mismo número de desviaciones con signo positivo que con signo negativo. Decimos que hay asimetría positiva (o a la derecha) si la "cola" a la derecha de la media es más larga que la de la izquierda, es decir, si hay valores más separados de la media a la derecha. Diremos que hay asimetría negativa (o a la izquierda) si la "cola" a la izquierda de la media es más larga que la de la derecha, es decir, si hay valores más separados de la media a la izquierda.

Medidas de asimetría

Coeficiente de asimetría de Fisher

En teoría de la probabilidad y estadística, la medida de asimetría más utilizada parte del uso del tercer momento estándar. La razón de esto es que nos interesa mantener el signo de las desviaciones con respecto a la media, para obtener si son mayores las que ocurren a la derecha de la media que las de la izquierda. Sin embargo, no es buena idea tomar el momento estándar con respecto a la media de orden 1 (¡Ya que una simple suma de todas las desviaciones siempre es cero!). Por ello, lo más sencillo es tomar las desviaciones al cubo.
El coeficiente de asimetría de Fisher, representado por γ1, se define como:
\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}, \!
donde μ3 es el tercer momento en torno a la media y σ es la desviación estándar.
Si γ1 = 0, la distribución es simétrica.
Si γ1 > 0, la distribución es asimétrica positiva o a la derecha.
Si γ1 < 0, la distribución es asimétrica negativa o a la izquierda.

Coeficiente de asimetría de Pearson

Sólo se puede utilizar en distribuciones campaniformes, unimodales y moderadamente asimétricas. Se basa en que en distribuciones simétricas la media de la distribución es igual a la moda.
A_p = \frac{\mu - moda}{\sigma}, \!
Si la distribución es simétrica, μ = moda y Ap = 0. Si la distribución es asimétrica positiva la media se sitúa por encima de la moda y, por tanto, Ap > 0.

Coeficiente de asimetría de Bowley

Está basado en la posición de los cuartiles y la mediana, y utiliza la siguiente expresión:
A_B = \frac{Q_{3/4} + Q_{1/4} - 2Me}{Q_{3/4} - Q_{1/4}} \!
En una distribución simétrica el tercer cuartil estará a la misma distancia de la mediana que el primer cuartil. Por tanto AB = 0.
Si la distribución es positiva o a la derecha, AB > 0.

Utilidad

La asimetría resulta útil en muchos campos. Muchos modelos simplistas asumen una distribución normal, esto es, simétrica en torno a la media. La distribución normal tiene una asimetría cero. Pero en realidad, los valores no son nunca perfectamente simétricos y la asimetría de la distribución proporciona una idea sobre si las desviaciones de la media son positivas o negativas. Una asimetría positiva implica que hay más valores distintos a la derecha de la media.
Las medidas de asimetría, sobre todo el coeficiente de asimetría de Fisher, junto con las medidas de apuntamiento o curtosis se utilizan para contrastar si se puede aceptar que una distribución estadística sigue la distribución normal. Esto es necesario para realizar numerosos contrastes estadísticos en la teoría de inferencia estadística.

Estadísticos de asimetría
Para saber si una distribución de frecuencias es simétrica, hay que precisar con respecto a qué. Un buen candidato es la mediana, ya que para variables continuas, divide al histograma de frecuencias en dos partes de igual área. Podemos basarnos en ella para, de forma natural, decir que una distribución de frecuencias es simétrica si el lado derecho de la gráfica (a partir de la mediana) es la imagen por un espejo del lado izquierdo(figura 2.7).

  
Figura: Distribuciones de frecuencias simétricas y asimétricas
\includegraphics[angle=0, width=0.8\textwidth]{fig02-07.eps}

Cuando la variable es discreta, decimos que es simétrica, si lo es con respecto a la media.
 Observación
  • Se podría pensar que definir la simetría con usando la mediana para variables continuas y usando la media para variables discretas es una elección arbitraria. En realidad esto no es así, pues si una variable es continua, coinciden los ambos criterios de simetría (con respecto a la media y a la mediana). Es más, se tiene que media y mediana coinciden para distribuciones continuas simétricas. Por otro lado,
  • en el caso de variables discretas, la distribución es simétrica si el lado derecho del diagrama se obtiene por imagen especular desde la media. En este caso coincide la media con la mediana si el número de observaciones es impar.
  • Si la variable es continua simétrica y unimodal, coinciden la media, la mediana y la moda.
Dentro de los tipos de asimetría posible, vamos a destacar los dos fundamentales (figura 2.8):
Asimetría positiva:
Si las frecuencias más altas se encuentran en el lado izquierdo de la media, mientras que en derecho hay frecuencias más pequeñas (cola).
Asimetría negativa:
Cuando la cola está en el lado izquierdo.

  
Figura: Asimetría positiva y asimetría negativa
\includegraphics[angle=0, width=0.8\textwidth]{fig02-08.eps}

Cuando realizamos un estudio descriptivo es altamente improbable que la distribución de frecuencias sea totalmente simétrica. En la práctica diremos que la distribución de frecuencias es simétrica si lo es de un modo aproximado. Por otro lado, aún observando cuidadosamente la gráfica, podemos no ver claro de qué lado están las frecuencias más altas. Conviene definir entonces unos estadísticos que ayuden a interpretar la asimetría, a los que llamaremos índices de asimetría, y que denotaremos mediante ${{\cal A}_s}$. Vamos a definir a continuación algunos de los índices de asimetría más usuales como son el índice basado en los tres cuartiles, el momento de tercer orden y la distancia entre la moda y la media o la media y la mediana.
 Índice basado en los tres cuartiles (Yule-Bowley)
Si una distribución es simétrica, es claro que deben haber tantas observaciones entre la que deja por debajo de sí las tres cuartas partes de la distribución y la mediana, como entre la mediana y la que deja por debajo de sí un quarto de todas las observaciones. De forma abreviada esto es,
\begin{displaymath}{\cal Q}_3 -{\cal Q}_2 = {\cal Q}_2 - {\cal Q}_1 \end{displaymath}
Una pista para saber si una distribución de frecuencias es asimétrica positiva la descubrimos observando la figura 2.9):
\begin{displaymath}{\cal Q}_3-{\cal Q}_2 > {\cal Q}_2 - {\cal Q}_1 \end{displaymath}

Por analogía, si es asimétrica negativa, se tendrá
\begin{displaymath}{\cal Q}_3-{\cal Q}_2 < {\cal Q}_2 - {\cal Q}_1 \end{displaymath}
Para quitar dimensionalidad al problema, utilizamos como índice de asimetría la cantidad:
 \begin{displaymath}{{\cal A}_s}= \frac{({\cal Q}_3-{\cal Q}_2) -({\cal Q}_2 - {\cal Q}_1)}{{\cal Q}_3 - {\cal Q}_1} \end{displaymath}
Es claro que \begin{displaymath}-1 \leq {{\cal A}_s}=\frac{({\cal Q}_3-{\cal Q}_2) -({\cal Q}... ...} {({\cal Q}_3-{\cal Q}_2) + ({\cal Q}_2 - {\cal Q}_1)} \leq 1 \end{displaymath}
El número obtenido, ${{\cal A}_s}$, es invariante ante cambios de origen de referencia y de escala.

  







Figura: Uso de los cuartiles para medir la asimetría
\includegraphics[angle=0, width=0.8\textwidth]{fig02-09.eps}

Índice basado en el momento central de tercer orden
Sea X una variable cuantitativa y $p \in I\!\!N$. Llamamos momento de orden p a:
\begin{displaymath}\mu_p = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \end{displaymath}
Se denomina momento central de orden p a la cantidad
\begin{displaymath}m_p = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^p \end{displaymath}
Si los datos están agrupados en una tabla, mp admite otra expresión equivalente:
\begin{displaymath}m_p = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i \, (x_i-\overline{x})^p \end{displaymath}

2.9.2.4 Ejemplo
Por la proposición 2.1 (página [*]) se tiene que

m1 = 0.


El momento de orden 2 es la varianza muestral:
\begin{displaymath}m_2={{\cal S}^{2}}. \end{displaymath}

Es sencillo comprobar que los momentos de orden p impar, son siempre nulos en el caso de variables simétricas, ya que para cada i que esté a un lado de la media, con $(x_i-\overline{x}) <0$, le corresponde una observación j del otro lado de la media tal que $(x_j-\overline{x}) = -(x_i -\overline{x})$. Elevando cada una de esas cantidades a p impar, y sumando se tiene que
\begin{displaymath}m_p = 0 \qquad \mbox{si la distribución es simétrica.} \end{displaymath}

Si la distribución fuese asimétrica positiva, las cantidades $(x_i-\overline{x})^p$, con $p\geq 3$impar positivas estarían muy aumentadas al elevarse a p. Esta propiedad nos indica que un índice de asimetría posible consiste en tomar p=3y definir
 \begin{displaymath}{{\cal A}_s}= a_3 = \frac{m_3}{m_2 \, \sqrt{m_2}} = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^3}{{\cal S}^3} \end{displaymath}
que para datos organizados en una tabla sería

\begin{displaymath}a_3 = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i \, (x_i-\overline{x})^3}{{\cal S}^3} \end{displaymath}
Apoyándonos en este índice, diremos que hay asimetría positiva si a3>0, y que la asimetría es negativa si a3<0.
Observación
Hemos dividido m3 por el cubo de ${\cal S}$para que a3sea un número abstracto sin dimensiones, independiente de la variabilidad de la variable. Por otro lado, la cantidad ${{\cal A}_s}$definida por la relación (2.17) no es la misma que la definida en (2.21). Simplemente las notamos ${{\cal A}_s}$para simbolizar que es un índice de asimetría.
2.9.2.6 Otros índices de asimetría
Basándonos en que si una distribución de frecuencias es simétrica y unimodal, entonces la media, la mediana y la moda coinciden, podemos definir otras medidas de asimetría, como son:

 \begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal A}_s}= \frac{\overline{x}- {M_{oda}}}{{\cal S}} $ } } } \end{displaymath}
o bien,
 \begin{displaymath}{{\cal A}_s}= \frac{3(\overline{x}- {M_{ed}})}{{\cal S}} \end{displaymath}
Diremos que hay asimetría positiva si ${{\cal A}_s}>0$y negativa si ${{\cal A}_s}<0$(véase la figura 2.10).

Figura: Diferencias importantes entre la media y la moda o la media y la mediana indican asimetría.
\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig02-10.epsi}

Ejemplo
Las edades de un grupo de personas se reflejan en la tabla siguiente:
Intervalos
ni
7 – 9
4
9 -- 11
18
11 -- 12
14
12 -- 13
27
13 -- 14
42
14 -- 15
31
15 -- 17
20
17 -- 19
1
Determinar la variabilidad de la edad mediante los estadísticos varianza, desviación típica, coeficiente de variación y rango intercuartílico. Estudie la simetría de la variable.
Solución:
En primer lugar realizamos los cálculos necesarios a partir de la tabla de frecuencias:
Intervalos
ni
xi
Ni
xi ni
xi2 ni
7 -- 9
4
8
4
32
256
9 -- 11
18
10
22
180
1.800
11 -- 12
14
11,5
36
161
1.851,5
12 -- 13
27
12,5
63
337,5
4.218,75
13 -- 14
42
13,5
105
567
7.654,5
14 -- 15
31
14,5
136
449,5
6.517,75
15 -- 17
20
16
156
320
5.120
17 -- 19
1
18
157
18
324

157


2.065
27.742,25
La media es $\overline{x}=2.065/157=13,15$años. La varianza la calculamos a partir de la columna de la xi2 ni como sigue:
\begin{displaymath}{\cal S}^2=27.742,25/157 - 13,15^2= 3,78 \mbox{ años}^2 \quad\Rightarrow\quad {\cal S}= \sqrt{3,78}=1,94 \mbox{ años} \end{displaymath}

El coeficiente de variación no posee unidades y es:
\begin{displaymath}{{\cal CV}}= \frac{1,94}{13,15}=0,15=15\% \mbox{ de variabilidad.} \end{displaymath}

En lo que concierne a la simetría podemos utilizar el coeficiente de asimetría de Yule-Bowley, para el cual es preciso el cálculo de los cuartiles:
\begin{displaymath}{\cal Q}_1= 12 + \frac{39,25 - 36}{27}\times 1 = 12,12 \end{displaymath}

\begin{displaymath}{M_{ed}}={\cal Q}_2=13 + \frac{78,5-63}{42}\times 1 = 13,37 \end{displaymath}



\begin{displaymath}{\cal Q}_3 = 14 + \frac{117,75 - 105}{31}\times 1 = 14,41 \end{displaymath}

Lo que nos dice que aproximadamente en un rango de ${\cal Q}_3-{\cal Q}_1=2,29$años se encuentra el $50\%$central del total de observaciones2.1 Además:
\begin{displaymath}\displaystyle= {{\cal A}_s}= \frac{({\cal Q}_3-{\cal Q}_2) -(... ...}_1} = \frac{(14,41-13,37) -(13,37 -12,12)}{14,41-12,12}=-0,09 \end{displaymath}
Este resultado nos indica que existe una ligera asimetría a la izquierda (negativa). Un resultado similar se obtiene si observamos (Figura 2.11) que la distribución de frecuencias es unimodal, siendo la moda:
\begin{displaymath}{M_{oda}}= = 13 + \frac{42-27}{ (42-27)+(42-31)}\times 1 = 13,57 \end{displaymath}

Figura: La distribución de frecuencias de la edad presenta una ligera asimetría negativa.
\includegraphics[angle=-90, width=0.9\textwidth]{fig02-11.eps}

en cuyo caso podemos usar como medida del sesgo:

\begin{displaymath}{{\cal A}_s}= \frac{\overline{x}- {M_{oda}}}{{\cal S}} = \frac{13,15-13,57}{1,94} =-0,21 \end{displaymath}
Relación simétrica
Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con el primero.
Es decir,
\forall x,y\in A,\ xRy \Rightarrow yRx
En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de simetría.
La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A, R).
Cuando una relación es lo opuesto a una simétrica, es decir, cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro no está relacionado con el primero, entonces decimos que es asimétrica, lo que denotamos formalmente por:
\forall x,y\in A,\ xRy \Rightarrow \neg (yRx)
En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de asimetría.
Representación
Sea R una relación simétrica o asimétrica aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.
Notación
Relación simétrica
Relación asimétrica
Como pares ordenados
\forall x,y\in A,\ (x,y)\in R \Rightarrow (y,x)\in R
\forall x,y\in A,\ (x,y)\in R \Rightarrow (y,x)\not\in R
Como matriz de adyacencia
M\,, la matriz transpuesta M^t=M\,.
M\,, tal matriz tiene una diagonal con sólo 0's, es decir, \forall i=\{1, ..., n\}, \; (a_{i,i})_{n\times n}=0,y además M+M^t\,produce una matriz simétrica.
Como grafo
Es un grafo que se puede representar como grafo no dirigido.
Es un grafo dirigido sin bucles ni ciclos.
Ejemplos
Sea A un conjunto cualquiera:
  • Sea (A, =)\,, =\,(la igualdad matemática), es simétrica.
  • Sea (A, \cup), \cupes simétrica.
  • "Estar casado con" es una relación simétrica, mientras que "ser más alto que" no lo es.
  • Sea (A, >)\,, >\,("mayor estricto que") es asimétrica, al igual que <\,("menor estricto que").
  • Sea (A, \subset), \subset(la inclusión estricta de conjuntos), es asimétrica.
Simetría \neqAnti simetría
La simetría no es lo opuesto de la anti simetría.
Existen relaciones que son simétricas y anti simétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni anti simétricas (como la divisibilidad), otras que son simétricas pero no anti simétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son anti simétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

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5 comentarios:

  1. Yael Rodriguez19 de noviembre de 2010 a las 14:46

    Asimetrıca

    Una relacion binaria R definida en un conjunto A se dice que es asimetrica si cada vez que aRb se
    sigue que bR/ a. Es decir,
    R es asimetrica () 8a, b 2 A(aRb =) bR/ a)

    Ejemplo. Sea A = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 3)} una relacion definida en A.

    Solucion:
    R es, en efecto, asim´etrica ya que para cada par (a, b) que pertenece a R, el par (b, a) no pertenece.

    esta bien todo el trabajo
    somos:Equipo 5

    ResponderEliminar
  2. Carlos Gabriel19 de noviembre de 2010 a las 16:34

    Una relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R b, entonces b R a. De esto se sigue que R no es simétrica se tiene a y b € A con a R b, pero b R a. Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.
    Equipo 2
    (Martinez de la Cruz Rodolfo,Hernandez Gabriel Juan Carlos,Martinez Ignacio,Norberto Cruz Gabriela,Gonsalez Teran Edith Monserrat)
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    ResponderEliminar
  3. Mate DiscretasET19 de noviembre de 2010 a las 16:47

    Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con el primero.

    Es decir,


    En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de simetría.

    La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A, R).

    Cuando una relación es lo opuesto a una simétrica, es decir, cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro no está relacionado con el primero, entonces decimos que es asimétrica, lo que denotamos formalmente por:


    En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de asimetría.


    *************buen trabajo equipo***************
    *************somos el equipo 6****************

    ResponderEliminar
  4. MATEMATICAS DISCRETAS19 de noviembre de 2010 a las 19:33

    RELACION ASIMETRICA:

    Asimétrico a menudo medios, simplemente: no simétrico. En este sentido relación asimétrica es a relación binaria cuál no es a relación simétrica.

    En algunos textos la palabra se da la definición más fuerte siguiente. Una relación R en X es asimétrico en el sentido siguiente.

    Si, para todos a y b en X, si a se relaciona con b, entonces b no se relaciona con a.
    En la notación matemática, esto está:

    .
    Ser asimétrico en este sentido es igual que siendo ambos antisimétrico y irreflexive.

    Para a relación transitiva la asimetría es equivalente con irreflexivity.

    La asimetría en el segundo sentido implica asimetría en el primer sentido, pero la implicación reversa no celebra. Las relaciones vacías son, vacuously, asimétrico (en el segundo sentido solamente) y simétrico.

    ***MUY BUENA INFORMACION****
    *** SOMOS EL EQUIPO 1 ***

    ResponderEliminar
  5. equipo 7 matediscretas19 de noviembre de 2010 a las 21:27

    Equipo 7

    la asimetria es como las simetria puesto que esta nesesita de ella ya que esdesir la asimetria se medira con una simetria ya que uno deve dever que tantacimetia hay en la asimetria y esta asimetria se medira en una simetria negativa o positiva.

    claro la positiva sera toda aquella que se en cuentre del lado izquierdo pero solo se considerara positiva siempre y cuando este la mayor parte de este lado ya que delo cotrario sera una asimetria negativa, esdecir que lamayoria de la simetria se en cuentre del lado derecho y sera una asimetria negativa.

    claro para poder medir la asimetria tenemos que fijar un punto de medicion o un pinto de simetria ke en este caso sele puede yamar moda y apartirde hay semide la asimetria y dependien do de que lado es temas cargado sera la asimetria es algo asi como el juego de la balanza del bien y el mal solo que en estecaso es asimetria positiva y asimetria negativa

    int:
    Gonzalo Garcez Cruz
    Gonzales HErnandes Francisco Agustin
    Anastacion Morales Janeth
    Macario Cervantes Fernando

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